Che cosa sono le simmetrie di una funzione
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Simmetria in una funzione
Studiando il grafico delle funzioni possiamo notare che in alcuni casi possiamo dividerle in due parti che hanno lo stesso comportamento, cioè funzioni che presentano simmetrie. Queste simmetrie possono essere descritte analiticamente come proprietà definendo le regole che definiscono le funzioni.
Se consideriamo il grafico della funzione quadratica, possiamo notare che la forma che ha sul lato destro dell’asse Y è un riflesso della forma che ha sul lato sinistro, in questo caso, diciamo che c’è una simmetria rispetto all’asse Y. Le funzioni che mostrano questo comportamento sono note come funzioni pari.
Criteri di simmetria
In questa lezione analizzeremo le proprietà delle funzioni da un punto di vista algebrico e grafico. Riconoscere le proprietà di una funzione ci aiuta a visualizzare le relazioni tra le variabili nella vita reale.
Abbiamo due punti C e C’, di cui possiamo cambiare la posizione e che sono sempre simmetrici rispetto alla linea in rosso, che può anche essere spostata utilizzando il punto sulla linea in rosso.
Abbiamo già visto che i punti (a,b) e (-a,b) sono simmetrici rispetto all’asse y. Una funzione o un grafico si dice simmetrico rispetto all’asse y se (a,b) è sul grafico implica che anche (-a,b) sia sul grafico.
Ci sono molti altri punti ma con questi esempi dovremmo essere in grado di vedere che (-a,b) sul grafico implica che anche (a,b) sarà sul grafico. Puoi verificare che anche il secondo grafico è simmetrico rispetto all’asse y?
Abbiamo visto che i punti (a,b) e (b,a) sono simmetrici rispetto alla retta y=x. Una funzione o un grafico si dice simmetrico intorno alla retta y=x se (a,b) sul grafico implica che anche (b,a) sia sul grafico.
Funzione simmetrica intorno all’asse x
Cioè, una figura è simmetrica, per esempio, quando girandola di 180º mantiene la stessa immagine. Pensate, per esempio, a una stella a quattro punte che ha ciascuno dei suoi lati uguale all’altro.
In termini formali, la simmetria centrale può essere definita dalla seguente regola: se abbiamo punti X e X’, entrambi sono simmetrici rispetto a un centro (C), se il segmento CX è di lunghezza uguale al segmento CX’, in modo che X e X’ siano equidistanti da C.
In altre parole, la simmetria assiale esiste quando tutti i punti di una figura corrispondono a quelli di un’altra, essendo equidistanti dall’asse di simmetria. Pertanto, per i punti A, B e C esisterebbero i loro corrispondenti punti omologhi A’, B’ e C’.
Per spiegarlo più graficamente, pensiamo a disegnare una silhouette umana su un foglio di carta. Poi, pieghiamo il foglio in due, dividendo l’immagine in due parti uguali. In questo modo, avremo due figure, una che appare come il riflesso dell’altra in uno specchio.
Simmetria delle funzioni pari e dispari
La simmetria è una caratteristica presente in molti rami della matematica, e quindi non è limitata come potrebbe sembrare a prima vista alla geometria. È un tipo di invarianza: la proprietà che un oggetto matematico rimane invariato sotto un dato insieme di operazioni o trasformazioni.[1][2] Dato un oggetto strutturato X di qualsiasi tipo, la simmetria di un oggetto matematico è la stessa di un oggetto X.[1][2
Dato un oggetto strutturato X di qualsiasi tipo, una simmetria è un’applicazione dell’oggetto su se stesso che conserva la sua struttura. Questo può avvenire in molti modi; per esempio, se X è un insieme senza struttura aggiuntiva, una simmetria è un’applicazione biiettiva di un insieme su se stesso, dando origine a un insieme di permutazioni. Se l’oggetto X è un insieme di punti nel piano con la sua struttura metrica o qualsiasi altro spazio metrico, una simmetria è una funzione biiettiva dell’insieme su se stesso che conserva la distanza tra ogni coppia di punti (cioè è un’isometria).
I tipi di simmetria considerati nella geometria di base includono la simmetria di riflessione, la simmetria rotazionale, la simmetria traslazionale e la riflessione scorrevole, che sono descritte più in dettaglio nell’articolo principale sulla simmetria in geometria.