Perche e necessario ampliare linsieme q dei numeri razionali

Estensione degli insiemi numerici

sono stati in qualche modo “scoperti” o suggeriti in relazione a problemi posti in problemi fisici o all’interno della matematica elementare e tutti sembrano avere importanti connessioni con la realtà fisica.

Essendo un sistema a somma, la notazione è: 1+1/2+1/4 . L’operazione fondamentale è l’addizione e le nostre moltiplicazioni e divisioni erano fatte da “raddoppi” e “mediazioni”, per esempio 69×19=69×(16+2+1), dove 16 rappresenta 4 raddoppi e 2 un raddoppio.

Eseguivano le operazioni in modo simile a oggi, divisione moltiplicando per l’inverso (per il quale usano le loro tabelle degli inversi). Nella tabella degli inversi mancano il 7 e l’11, che hanno un’espressione sessagesimale infinitamente lunga. Ci sono 1/59=;1,1,1 (il nostro 1/9=0,111…) e 1/61=;0,59,0,59 (il nostro 1/11=0,0909…) ma non hanno notato lo sviluppo periodico.

Le circostanze e la data di questa scoperta sono incerte, anche se viene attribuita alla scuola pitagorica (viene utilizzato il teorema di Pitagora). Aristotele cita una dimostrazione dell’incommensurabilità della diagonale di un quadrato rispetto al suo lato basata sulla distinzione tra pari e dispari. La ricostruzione di C. Boyer è: