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Circonferenza circoscritta di un triangolo

Circonferenza circoscritta di un triangolo

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1 Circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo

Circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo

In geometria, il cerchio inscritto o circonferenza inscritta di un triangolo è il cerchio più grande contenuto nel triangolo; tocca (è tangente a) tutti e tre i lati. Il centro del cerchio inscritto si chiama incentro[1] del triangolo.

Triangolo (nero) con cerchio inscritto (blu), incentro (I), cerchio esinscritto (arancione), eccentri (JA,JB,JC), bisettrici degli angoli interni (rosso) e bisettrici degli angoli esterni (verde)

Un cerchio inscritto o cerchio inscritto[2] del triangolo è un cerchio esterno al triangolo, tangente a uno dei suoi lati e tangente al prolungamento degli altri due lati. Ogni triangolo ha tre distinti cerchi inscritti, ciascuno tangente a uno dei lati del triangolo.[3] Il centro del cerchio inscritto è il centro del cerchio inscritto.

Il centro del cerchio inscritto, detto incentro, si trova all’intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni.[3][4] Il centro di un cerchio inscritto è l’intersezione della bisettrice di un angolo interno (del vertice A, per esempio) e le bisettrici degli altri due angoli esterni. Il centro di tale cerchio è detto eccentrico rispetto al vertice A, o eccentrico di A.[3] Poiché la bisettrice interna di un angolo è perpendicolare alla bisettrice dell’angolo esterno, ne consegue che il centro del cerchio inscritto insieme ai tre eccentri forma un sistema ortocentrico.[5] Il centro del cerchio inscritto e i tre eccentri formano un sistema ortocentrico.[6] Il centro del cerchio inscritto è detto centro di un angolo.

Proprietà del triangolo inscritto in un cerchio

Area del triangolo inscritto in un cerchioDato un qualsiasi triangolo ABC, con lati a, b, c, l’area del triangolo è il prodotto dei suoi lati diviso per quattro volte il raggio del cerchio che lo circoscrive.

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Come volevasi dimostrareDato un qualsiasi triangolo ABC, con lati a, b, c, l’area del triangolo è il prodotto dei suoi lati diviso per quattro volte il raggio della circonferenza che lo circoscrive. Tracciamo da C un diametro che termina in A’? Gli angoli A e A’ sono uguali B Applichiamo il teorema del seno al triangolo A’BC A’ a h c ? Ma “il nuovo” B è dritto Pertanto, abbiamo R C b D’altra parte, l’area del triangolo ABC è A Questo è Come volevamo dimostrare

E, poiché gli angoli di un triangolo si sommano a 180º, Teorema: Qualsiasi punto sulla circonferenza determina con il diametro un triangolo rettangolo Tracciamo il raggio OB B OAB è isoscele ? a b OBC anche a b O A C E, poiché gli angoli di un triangolo si sommano a 180º, E, così, il triangolo è retto in B

Come trovare la circonferenza di un triangolo

La circonferenza circonscritta di un triangolo è la circonferenza che passa per i tre vertici del triangolo. Questo cerchio esiste sempre se i vertici del triangolo non sono allineati, cioè esiste se l’area del triangolo non è zero.

La circonferenza di un quadrilatero è la circonferenza che passa per tutti i suoi vertici. Questa circonferenza non esiste sempre, quindi i quadrilateri che hanno una circonferenza circoscritta sono chiamati quadrilateri ciclici.

Circonferenza e cerchio inscritto

Tenendo presente che la linea tangente a un cerchio in un punto è sempre perpendicolare al raggio che passa per quel punto, possiamo sempre disegnare un triangolo rettangolo con il vertice corrispondente all’angolo retto nel punto di tangenza e gli altri due vertici, uno sulla linea contenente il raggio e l’altro sulla linea di tangenza.

Qualsiasi triangolo il cui lato è un diametro di un cerchio e il cui vertice opposto a quel lato si trova sul cerchio è un triangolo rettangolo. In tale triangolo l’ipotenusa coincide con il diametro e il vertice opposto è quello corrispondente all’angolo retto.

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L’applet seguente mostra una corda di un cerchio, il suo punto medio e il triangolo formato dal centro del cerchio, il punto medio della corda e un’estremità della corda.

Nel terzo passo viene mostrato un triangolo la cui area deve essere calcolata per trovare l’area del segmento circolare. È nel triangolo rettangolo formato dall’altezza del triangolo, dalla metà di una corda e dal raggio della circonferenza che a volte è necessario usare il teorema di Pitagora per trovare alcune delle dimensioni necessarie per calcolare l’area.

Circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo

Proprietà del triangolo inscritto in un cerchio

Come trovare la circonferenza di un triangolo

Circonferenza e cerchio inscritto

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