A cosa servono le formule goniometriche
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Trigonometria
Una volta definiti i rapporti trigonometrici degli angoli acuti (<90º), partendo da un triangolo rettangolo, possiamo estendere la loro definizione agli angoli di qualsiasi ampiezza. In questo capitolo studieremo:
La figura mostra un cerchio goniometrico e un qualsiasi punto P su di esso. Si noti che ogni punto corrisponde a un angolo α formato tra il segmento OP e il semiasse X positivo. Potete cambiare il valore di α trascinando il cursore inferiore. Controlla che sin α coincida con il valore dell’ordinata e cos α con il valore dell’ordinata del punto P.
Più graficamente, cos α corrisponde alla lunghezza della proiezione del punto sull’asse x e sin α sull’asse y. Inoltre tg α corrisponde alla proiezione sulla linea tangente nel punto (1,0), puoi dire perché? In ogni caso, queste lunghezze sono considerate positive se le proiezioni giacciono sui semiassi positivi e negative se giacciono sui semiassi negativi.
Formule ed esempi di trigonometria
Tutti i triangoli considerati giacciono nel piano euclideo, quindi la somma dei loro angoli interni è uguale a π radianti (o 180°). Di conseguenza, in qualsiasi triangolo retto gli angoli non retti sono compresi tra 0 e π/2 radianti. Le definizioni date di seguito definiscono rigorosamente le funzioni trigonometriche per gli angoli all’interno di questo intervallo:
La seguente tabella riassume i valori algebrici più semplici e/o più comuni delle funzioni trigonometriche. [1] Il simbolo ∞ rappresenta il punto all’infinito sulla linea reale proiettata estesa; che è senza segno, perché, quando appare nella tabella, la funzione trigonometrica corrispondente tende a +∞ da una parte e a -∞ dall’altra, quando l’argomento tende al valore nella tabella.
Per definire i valori di queste funzioni per valori compresi tra 0 e 2π, si utilizzerà quindi un cerchio unitario, centrato sull’origine delle coordinate del piano cartesiano. Le funzioni trigonometriche coseno e seno sono definite come l’ascissa (x) e l’ordinata (y), rispettivamente, di un punto P di coordinate (x, y), appartenente alla circonferenza, essendo
A cosa servono le funzioni trigonometriche?
In questa relazione mostrerò le utilità e gli usi di questo ramo della matematica, in particolare della suddetta circonferenza, attraverso il supporto di formule ed esercizi che ci aiuteranno a comprenderla meglio.
Per iniziare la nostra indagine dobbiamo sapere come funziona la circonferenza goniometrica. Sappiamo già che serve per studiare la trigonometria attraverso i triangoli, ma perché questo sia possibile dobbiamo conoscere due rapporti trigonometrici fondamentali per la costruzione dei triangoli all’interno di questo cerchio. Il seno, il coseno e la tangente.
La circonferenza è divisa in quadranti. Costruiremo un triangolo rettangolo nel primo quadrante (il quadrante superiore destro) e stabiliremo un angolo di riferimento (alfa), una gamba opposta (a) e una gamba adiacente (b). La sua ipotenusa è uguale al raggio e nei cerchi goniometrici il raggio sarà sempre l’unità, cioè 1.
Per trovare il seno di alfa dobbiamo considerare la gamba opposta, che abbiamo chiamato a, e l’ipotenusa del triangolo rettangolo, il cui valore è 1 perché coincide con il raggio del cerchio. Quindi il seno di alfa è la gamba opposta (a) diviso l’ipotenusa e il suo risultato coincide con la lunghezza della gamba opposta (a).
Sulla circonferenza goniometrica rappresenta un angolo a 45°.
Tutti i triangoli considerati giacciono nel piano euclideo, quindi la somma dei loro angoli interni è uguale a π radianti (o 180°). Di conseguenza, in qualsiasi triangolo retto gli angoli non retti sono compresi tra 0 e π/2 radianti. Le definizioni date di seguito definiscono rigorosamente le funzioni trigonometriche per gli angoli all’interno di questo intervallo:
La seguente tabella riassume i valori algebrici più semplici e/o più comuni delle funzioni trigonometriche. [1] Il simbolo ∞ rappresenta il punto all’infinito sulla linea reale proiettata estesa; che è senza segno, perché, quando appare nella tabella, la funzione trigonometrica corrispondente tende a +∞ da una parte e a -∞ dall’altra, quando l’argomento tende al valore nella tabella.
Per definire i valori di queste funzioni per valori compresi tra 0 e 2π, si utilizzerà quindi un cerchio unitario, centrato sull’origine delle coordinate del piano cartesiano. Le funzioni trigonometriche coseno e seno sono definite come l’ascissa (x) e l’ordinata (y), rispettivamente, di un punto P di coordinate (x, y), appartenente alla circonferenza, essendo