Quando ln e maggiore di 0

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1 Ln(0)

Ln(0)

Ottenere il logaritmo si chiama anche settima operazione, perché per le prime due operazioni di base (addizione e moltiplicazione) ci sono delle operazioni di contatore, una per ciascuna, che permettono di invertire il processo (vedi qui l’approfondimento sulla reversibilità) e tornare ai dati originali. Per la terza operazione di base (elevazione a esponente) sono necessarie due operazioni diverse per ottenere i dati originali:

Tuttavia, con questa operazione possiamo solo calcolare quale fosse la base originale, conoscendo l’esponente (o potenza) a cui è stata elevata. Con la radicazione non è possibile scoprire a quale potenza è stata alzata, conoscendo la base. È qui che i logaritmi vengono in soccorso.

10, che è la base dei logaritmi comuni, perché 10 è la base del nostro sistema di numeri decimali (vedi di più qui). I logaritmi in base 10 sono spesso scritti senza specificare la base. È considerato implicito:

Nota: ln si riferisce sia al logaritmo naturale che al logaritmo neperiano, in onore di John Napier. Tuttavia, la base utilizzata da Napier non era e, come abbiamo visto qualche paragrafo sopra. È una confusione che non causa troppi problemi, ma vale la pena conoscerla e correggerla.

Ln(1)

Immaginate cosa succede quando il compounding è frequente. Se l’interesse è composto annualmente, allora m = 1. Se l’interesse è composto mensilmente, allora m = 12. L’interesse composto giornalmente sarebbe rappresentato da m = 365; per ogni ora sarebbe m = 8.760. Si può vedere che all’aumentare della frequenza dei periodi composti, il valore di m aumenta rapidamente. Immaginate il valore di m se l’interesse fosse composto ogni minuto o ogni secondo!

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Si può anche andare oltre un secondo ed eventualmente comporre continuamente. Guarda i valori in questa tabella, che assomiglia molto all’espressione moltiplicata per P nella formula di cui sopra. All’aumentare di x, l’espressione assomiglia sempre più a un composto continuo.

Il modo in cui valutate le espressioni esponenziali usando e (come e3) dipende dalla vostra calcolatrice. Su alcune calcolatrici si preme il tasto [ex] e poi l’esponente e si preme il tasto invio. Su altri si digita prima l’esponente e poi si preme il tasto [ex]. È importante che tu sappia come funziona la tua calcolatrice. Con la vostra calcolatrice cercate di trovare e3. Il risultato dovrebbe essere 20.0855369… (il numero di cifre visualizzato dipende anche dalla vostra calcolatrice).

Proprietà dei logaritmi

Allo stesso modo in cui l’operazione inversa dell’addizione è la sottrazione e quella della moltiplicazione è la divisione, il calcolo dei logaritmi o della logaritmia è l’operazione inversa dell’esponenziazione della base del logaritmo.

I logaritmi furono introdotti da John Napier all’inizio del XVII secolo come mezzo per semplificare i calcoli e furono presto adottati da scienziati, ingegneri, banchieri e altri per eseguire operazioni in modo facile e veloce, utilizzando regoli calcolatori e tabelle di logaritmi. Questi dispositivi si basano sul fatto, importante di per sé – per identità logaritmiche – che il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei fattori:

I logaritmi, che permettono di trasformare una moltiplicazione in un’addizione, una divisione in una sottrazione, una potenza in un prodotto e una radice in una divisione, erano di grande importanza perché semplificavano i calcoli numerici; oggi, con le calcolatrici e i computer, le operazioni con i logaritmi sono cambiate sostanzialmente.[1]

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Logaritmo neperiano

La prima menzione del logaritmo naturale fu data da Nikolaus Mercator nella sua opera Logarithmotechnia pubblicata nel 1668,[1] anche se il professore di matematica John Speidell lo aveva già fatto nel 1619 compilando una tabella di valori del logaritmo naturale.[3] Formalmente era chiamato logaritmo iperbolico,[4] poiché i suoi valori corrispondevano a quelli dell’area trovata sotto l’iperbole. A volte ci si riferisce anche al logaritmo neperiano, anche se il significato originale di questo termine è leggermente diverso.

Un’altra ragione per cui il logaritmo di base -e- è il più naturale è che può essere definito molto facilmente in termini di un integrale o serie di Taylor e questo non sarebbe così semplice se il logaritmo fosse di un’altra base.

{displaystyle {begin{aligned}{d}{d}{dx}{ln(x)} {=lit}{h0}{ln(x+h)}. \{\====================================================================================================================================================================================================================0========0 {1}{h}}}destra]}

Ln(0)

Ln(1)

Proprietà dei logaritmi

Logaritmo neperiano

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