Quali sono le condizioni di esistenza di un esponenziale
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Funzione esponenziale naturale
La funzione esponenziale è la base della capitalizzazione continua, che è il risultato dell’aumento infinito (quando p tende all’infinito) della frequenza di calcolo degli interessi nella capitalizzazione composta.
In economia non è così popolare perché la maggior parte dei modelli microeconomici e macroeconomici assumono rendimenti marginali decrescenti per i loro fattori di produzione. Di conseguenza, assumono che i fattori seguano rendimenti logaritmici e, quindi, rendimenti contrari alla funzione esponenziale.
Supponiamo di essere un investitore americano che vuole costruire una pista da sci su Pico Bolivar, in Venezuela. L’investimento iniziale è di 100 milioni di dollari ad un tasso d’interesse annuale del 100%. Questo investitore ha abbastanza potere contrattuale per determinare la periodicità del calcolo degli interessi sul suo investimento.
Dividiamo (Ct+1) per 100 nella funzione esponenziale per eliminare l’effetto del capitale. In questo modo, spostiamo il punto decimale due posizioni in avanti. Di conseguenza, questo effetto è visibile nelle seguenti colonne di risultati.
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Poiché cambiare la base della funzione esponenziale comporta semplicemente la comparsa di un ulteriore fattore costante, è computazionalmente conveniente ridurre lo studio delle funzioni esponenziali in analisi matematica allo studio di questa particolare funzione, convenzionalmente chiamata “funzione esponenziale naturale”,[1][2] o, semplicemente, “la funzione esponenziale” e denotata da
La sua onnipresenza nella matematica pura e applicata ha portato il matematico W. Rudin ad affermare che la funzione esponenziale è “la funzione più importante della matematica”[3]. Nelle impostazioni applicate, le funzioni esponenziali modellano una relazione in cui una variazione costante della variabile indipendente fornisce la stessa variazione proporzionale (cioè, aumento o diminuzione percentuale) nella variabile dipendente. Ciò si verifica ampiamente nelle scienze naturali e sociali; pertanto, la funzione esponenziale appare anche in una varietà di contesti all’interno della fisica, della chimica, dell’ingegneria, della biologia matematica e dell’economia.
Formula della funzione esponenziale
Anche se abbiamo già introdotto questo concetto nelle sezioni precedenti, in questa approfondiremo lo studio nel caso di funzioni reali e impareremo a calcolarlo. Lo faremo attraverso i seguenti punti:
Il caso più semplice di funzione razionale è quello della funzione di proporzionalità inversa 1/x. In questo caso, il grafico è un’iperbole equilatera. Sottraendo o aggiungendo una costante k al denominatore si sposta il grafico rispettivamente a sinistra o a destra.
Quando le funzioni precedenti appaiono come parti di un’altra funzione, sia in addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione, cerchiamo il dominio della funzione globale come l’insieme di quei valori che soddisfano allo stesso tempo tutte le restrizioni viste, cioè:
Tieni presente che per semplificare una funzione che hai ottenuto operando con altre funzioni devi indicare chiaramente il dominio, e questo deve essere quello della funzione originale. Altrimenti si potrebbe ottenere una funzione dopo la semplificazione che non coincide con quella originale.
Funzione esponenziale
Questo studio presenta prove che convalidano un modello cognitivo chiamato decomposizione genetica per la ricostruzione del concetto di funzione esponenziale. Ventidue studenti iscritti a un corso di insegnamento della matematica e a un master in didattica della matematica vengono intervistati attraverso l’applicazione di un questionario con un approccio metodologico misto. I risultati mostrano che gli studenti intervistati utilizzano in parallelo sia l’operatore logaritmo che la funzione esponenziale. I risultati sottolineano i ruoli giocati dai grafici e l’uso di modelli e l’operazione di potenza per stabilire restrizioni alla base della relazione esponenziale. Inoltre, i risultati confermano il ruolo giocato dalla moltiplicazione ricorsiva di un numero reale positivo per evidenziare la monotonia della funzione esponenziale. Si conclude che questi risultati convalidano il modello proposto di decomposizione genetica, rivendicando gli elementi teorici che lo sostengono.
Es importante destacar que nuestro estudio se enfoca en modelar el tránsito del álgebra escolar al álgebra universitaria, por lo tanto nuestra descomposición genética se centra en la influencia de conocimiento escolar a diferencia de lo que plantean Vargas y Weber, quienes asumen la reconstrucción de la función exponencial con base en un conocimiento más acabado de los conocimientos previos